TU Wien ordnet Unendlichkeiten in zweidimensionaler Karte

Seit Jahrzehnten rätselt die Mathematik über die Frage, wie sich verschiedene Unendlichkeiten zueinander verhalten. William Chan vom Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien hat nun einen verblüffend einfachen Weg gefunden, eine große Klasse von Unendlichkeiten zu strukturieren.

Sein Ansatz: Er verzichtet auf die Forderung nach einer einzigen klaren Hierarchie. Stattdessen trägt er Unendlichkeiten in einem zweidimensionalen System ein – wie Punkte auf einer Landkarte. Dadurch entstehen Ordnungen, die mit herkömmlichen Methoden nicht möglich waren.

Wie groß ist unendlich?

Zwei Zahlen lassen sich vergleichen, indem man Elemente zweier Mengen einander zuordnet. Fünf Katzen und fünf Futterschüsseln – jede Katze bekommt eine Schüssel, keine bleibt übrig: Die Mengen sind gleich groß. Das funktioniert auch bei unendlichen Mengen.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist etwa genauso groß wie jene der geraden Zahlen, obwohl nur die Hälfte aller Zahlen gerade ist. Jede gerade Zahl lässt sich durchnummerieren: 2 erhält die Nummer 1, 4 die Nummer 2 und so weiter. Georg Cantor bewies jedoch: Bei reellen Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen geht das nicht. Diese Menge ist größer – obwohl beide unendlich sind.

Das Auswahlaxiom und seine Grenzen

Daraus entstand eine zentrale Frage: Gibt es Unendlichkeiten beliebiger Größe, auch zwischen natürlichen und reellen Zahlen? Um das zu untersuchen, nutzt die Mathematik üblicherweise die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom. Letzteres besagt: Aus jeder nicht-leeren Menge kann man ein Element auswählen.

Mit dem Auswahlaxiom lassen sich unendliche Mengen wie Sprossen einer Leiter sortieren. Doch die Frage, auf welcher Sprosse die Unendlichkeit der reellen Zahlen liegt, blieb jahrzehntelang offen – bis Forscher zeigten: Sie ist im Rahmen der üblichen Axiome nicht beantwortbar.

Neue Struktur ohne Auswahlaxiom

Chan verzichtete auf das Auswahlaxiom und ersetzte es durch das Axiom der Determiniertheit – ein Konzept aus den 1960er-Jahren. Es besagt: In einem unendlichen Auswahlprozess zwischen zwei Spielern lässt sich für einen von ihnen immer eine Gewinnstrategie finden.

Damit untersuchte Chan, wie aus unendlichen Mengen neue entstehen. Etwa durch Abbildungen: Die Menge der reellen Zahlen entsteht, indem man die Ziffern 0 bis 9 so oft nimmt, wie es natürliche Zahlen gibt. Symbolisch: zehn hoch Aleph-null ergibt die Mächtigkeit des Kontinuums.

Zweidimensionale Landkarte statt Leiter

Statt Unendlichkeiten linear zu ordnen, platzierte Chan sie in einem zweidimensionalen Schema. Seien A, B, C und D unterschiedliche Unendlichkeiten: Ist A größer als C und B größer als D, dann ist A hoch B eindeutig größer als C hoch D. Ist aber A kleiner als C, dafür B größer als D, sind die beiden Größen nicht vergleichbar. Sie werden mit zwei Zahlen beschrieben – wie Koordinaten auf einer Karte.

Mit diesem Verzicht auf die „Unendlichkeits-Leiter“ wird die Algebra der Unendlichkeiten überraschend einfach und zeigt eine reiche Struktur. Bereits bekannte Ergebnisse lassen sich in dieser Landkarte einbetten, ohne Widersprüche zu erzeugen.

„Es ist eine verblüffend einfache und fruchtbare Art, über das Sortieren unendlicher Mengen neu nachzudenken“, sagt Chan. Das uralte Rätsel der Mächtigkeit unendlicher Mengen sei damit vermutlich noch nicht gelöst – aber ein wichtiger Schritt getan.

Die Studie erschien in den Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).

Quelle: https://www.tuwien.at/tu-wien/aktuelles/news/news/eine-landkarte-fuer-das-reich-der-unendlichkeiten